Azok a rejtélyes prímszámok

Gauss (1777-1855), a matematikusok fejedelme így fogalmazott:

"a tudomány méltósága megkövetelni látszik, hogy egy olyan alapvető kérdést miszerint egy számról eldöntsük, hogy prím-e, és ha nem, akkor megtaláljuk prímtényezőit, megfelelően kezelni tudjuk".

Prímszámok

A prím (vagy törzsszám) fogalmát valószínű, hogy már az egyiptomi és mezopotámiai ókori kultúrák is ismerték. Tudomásunk szerint a számok és közöttük a prímszámok első, tervszerű tanulmányozói a püthagoreusok voltak (i.e. 500-350). A törzsszámokra először Euklédesz-nél találunk pontos meghatározást. Olyan számok ezek, írja, melyek "csak az egységgel" mérhetők. Azt is bizonyította, hogy végtelen sok törzsszám van. A törzsszámok kiválasztására Eratoszthenész mutatott ötletes eljárást (Eratoszthenész szitája). Korán felvetődött az a kérdés, hogy a prímszámok miként oszlanak el a természetes számok között. Az első sejtés a 15 éves Gauss-tól származik. Logaritmustábláját nézegetve észrevette, hogy az ezres számkörben a prímszámok száma, fordítottan arányos a számok logaritmusával...

Jelöljük az n természetes számnál nem nagyobb prímszámok számát x(n)-nel. Legendre, aki már 1.000.000-ig vizsgálta át a prímszámok előfordulását, úgy tapasztalta, hogy . Csebisev kimutatta, hogy ez a képlet helytelen, és igazolta, hogy az x(n) függvény nagyságrendje úgy növekszik, mint , és az hányados számára alsó és felső korlátot állapított meg. Ezt a becslést 1882-ben Sylvester angol, majd 1929-ben Issai Schur német matematikus pontosabbá tette. Csebisev arra is rájött, hogy az x(n) függvény értékei egy határozott integrál értékei körül oszcillálnak. Ezt az eredményt használta fel 1896-ban Vallée Poussin és Hadamard, egymástól függetlenül, hogy bizonyítsák, az ún. prímszámtételt. Megoldatlan még az ikerprímszámok kérdése. Sejtésünk szerint végtelen sok ikerprímszám van.

A valószínűség számítás eszközeivel, bizonyos, nem igazoltan teljesülő feltételek esetén úgy tűnik, hogy 0 és n között, számú prímpár található. A prímszámok jelentősége, napjainkban igen megnövekedett, mert a titkosításban (kódolásban) kulcsszerepet játszanak...

A prímszámok sorozata meglehetősen szabálytalan. Vajon lehet ebben valamiféle szabályosság? Vajon lehetnek-e számtani sorozatok, ill., milyen számtani sorozatok lehetnek a prímszámok halmazában?

Például nézzünk egy számtani sorozatot:

28; 28 + 35; 28 + 2 * 35; 28 + 3 * 35; ...

Ebben nyilvánvalóan nincs végtelen sok prímszám, sőt egy sincs: mindegyik szám osztható 7-tel. Próbálkozzunk egy jobb példával:

27; 27 + 35; 27 + 2 * 35; 27 + 3 * 35; ...

Ebben a sorozatban már végtelen sok prímszám van. Ezen számtani sorozat kielégíti a Dirichlet tételt (1837), mely szerint:

Bármely olyan számtani sorozat, amelynek elemei egész számok és első eleme relatív prím a differenciához, végtelen sok prímszámot tartalmaz.

Essen még néhány szó az ikerprímekről. Csak két olyan szomszédos szám van, amelyek közül mind a kettő prím: a 2 és a 3, hiszen szomszédos számok egyike páros és a 2 az egyetlen páros prím. Ősidők óta foglalkoztatja a gondolkodókat, hogy hányszor fordul elő, hogy két prím különbsége 2. Ikerprímek pl. a 3 és az 5, az 5 és a 7, a 11 és a 13, a 17 és 19, a 29 és 31, stb. Máig megoldatlan, hogy hány ikerprím számpár van. Az ikerprím-sejtés szerint végtelen sok ikerprím létezhet. Pár éve az a hír járt az interneten, hogy "majdnem" megoldották a sejtést. A bizonyítás hibásnak bizonyult, de a szerzők, kiegészülve a magyar Pintz Jánossal és egy Y. Motohashi nevű japán úrral, 2005-ben tényleg előreléptek a kérdésben, de máig várat magára a sejtés bizonyítása, mint ahogy várat magára a prímszámokkal kapcsolatos furcsaságok bizonyítása is.

2012. március